Väitös matematiikan ja tilastotieteen alalta, DI / KTM Olga Kuznetsova

Väitöskirjan nimi: Interactions of Algebra, Statistics and Optimization

Tohtoriopiskelija: Olga Kuznetsova
Vastaväittäjä: professori Serkan Hoşten, San Francisco State University, Yhdysvallat
Kustos: apulaisprofessori Kaie Kubjas, Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu, matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Tilastollisten ja algebrallisten optimointiongelmien rakenne ja monimutkaisuus

Aloitetaan kysymyksestä, miten ennustetaan sairaalahoitojaksojen kesto eri osastoilla kuluneen vuoden havaintojen perusteella? Samanlaisia haasteita esiintyy sairaanhoidon aikataulutuksessa, liikenteen ohjauksessa ja lentoyhtiöiden hinnoittelussa. Optimoinnin teoria tarjoaa työkalut tällaisten haasteiden ratkaisemiseen. Optimoinnin tarkoitus on tunnistaa paras ratkaisu useiden vaihtoehtojen joukosta. 

Väitöskirjassa tutkitaan optimointiongelmien rakennetta, optimaalisen ratkaisun olemassaolon ehtoja ja optimin laskemisen monimutkaisuutta. Keskitymme Gaussin ja log-konkaavin suurimman uskottavuuden estimointiin (engl. Maximum Likelihood Estimation – MLE) sekä polynomirajoitteiseen optimointiin. 

Teoreettisten ominaisuuksiensa sekä biologian ja talouden prosessien edustuskykynsä takia Gaussin satunnaismuuttujat ovat yleisluonteisia tilastotieteessä ja koneoppimisessa. Tutkimuksessamme sovelletaan verkkoja mallintamaan satunnaismuuttujien välisiä suhteita, esim. sairaalan eri osastojen samankaltaisuutta. Tutkimuksessa kehitettiin GraphicalModelsMLE-paketti Macaulay2-tietokonealgebrajärjestelmälle tutkimaan Gaussin satunnaismuuttujien verkkomalleja ja ehdotetaan jatkotutkimusteemoja. 

Satunnaismuuttujat, joilla on log-konkaavit tiheysfunktiot, ovat Gaussin satunnaismuuttujien yleistys ja ovat herättäneet huomiota viime vuosina. Osoitamme, että optimaalinen ratkaisu on usein transsendenttinen. Tämän seurauksena nykyaikaiset tietokoneet voivat ratkaista tällaiset ongelmat vain epätarkasti. Tutkimme myös log-konkaavin MLE:n ominaisuuksia lisäämällä suuntaamattomien verkkojen asettamia rajoituksia. 

Polynomirajoitetun optimoinnin tavoitteena on löytää polynomiyhtälöryhmän täyttävien ratkaisuvaihtoehtojen joukosta optimaalinen ratkaisu. Tällaisia optimointiongelmia tilastotieteessä ovat diskreettien satunnaismuuttujien MLE ja Gaussin satunnaismuuttujien keskiarvojen MLE. Keskimääräisen sairaalahoitojakson keston arvioiminen on esimerkki jälkimmäisestä. Edellytämme että kriittiset pisteet, eli optimointiongelman ratkaisuehdokkaat, täyttävät eksplisiittisen kaavan. Tämän kaavan tarkka muoto määräytyy datan perusteella. Osoitamme, että kriittisiä pisteitä on rajallinen määrä aina, kun data on riittävän yleistä. Kriittisten pisteiden lukumäärä on arvokas indikaattori optimointiongelman monimutkaisuudesta, koska usein on laskettava kaikki kriittiset pisteet optimaalisen ratkaisun tunnistamiseksi.

Linkki väitöskirjan sähköiseen esittelykappaleeseen (esillä 10 päivää ennen väitöstä): 
https://aaltodoc.aalto.fi/doc_public/eonly/riiputus/

Perustieteiden korkeakoulun väitöskirjat: https://aaltodoc.aalto.fi/handle/123456789/52