Väitös, matematiikka ja tilastotiede, MSc Aapo Laukkarinen

Väitöskirjan nimi: Convex body domination and its applications to matrix weights and commutators

Väittelijä: Aapo Laukkarinen 
Vastaväittäjä: Professori Andreas Seeger, University of Wisconsin-Madison, Yhdysvallat 
Kustos: Akatemiaprofessori Tuomas Hytönen, Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu 

Miten voidaan selvittää, kuinka voimakkaasti matemaattinen operaattori muuttaa funktiota, kun lopputulokseen vaikuttavat myös eri suuntiin osoittavat vektorit? Tämä kysymys on keskeinen tässä väitöstutkimuksessa, jossa laajennetaan hiljattain esitellyn menetelmän soveltamista uusiin tilanteisiin. 

Matemaattiset operaattorit kuvaavat sääntöjä, joiden avulla funktioista muodostetaan uusia funktioita. Niitä tutkitaan esimerkiksi harmonisessa analyysissä, jonka menetelmiä tarvitaan myös monien muiden matematiikan alojen ongelmien käsittelyssä. Väitöskirjassa tutkitaan matemaattisia operaattoreita painotetuissa avaruuksissa, joissa painotus voi riippua myös vektorien suunnasta. Tällaisten tilanteiden analysointiin tarvitaan menetelmä, joka pystyy huomioimaan tämän suunnasta riippuvan vaihtelun. 

Väitöstutkimuksessa kehitetään menetelmää, joka auttaa ratkaisemaan tämän ongelman ottamalla vektorien suunnat paremmin huomioon. Menetelmän avulla voidaan tutkia myös sellaisia matemaattisia operaattoreita, joiden ominaisuuksia ei ole aiemmin pystytty käsittelemään yhtä laajasti. Tutkimuksessa saadaan uusia tuloksia siitä, millaisissa olosuhteissa nämä operaattorit toimivat hallitusti. 

Lisäksi tutkimuksessa tarkastellaan, mitä tapahtuu, kun kahden matemaattisen operaation suoritusjärjestystä vaihdetaan. Näiden tilanteiden tutkiminen auttaa ymmärtämään operaatioiden välisiä suhteita. Väitöskirjassa saadaan uusia tuloksia tällaisiin rakenteisiin liittyvistä epäyhtälöistä ja osoitetaan, milloin näitä rakenteita voidaan approksimoida tehokkaasti. Tietojemme mukaan yksi näistä tuloksista on ensimmäinen laatuaan matriisipainotetuissa avaruuksissa toimivien singulaari-integraalioperaattorien tutkimuksessa. 

Tutkimus laajentaa matemaattisia työkaluja, joilla monimutkaisten operaattorien toimintaa voidaan analysoida. Tulokset ovat perustutkimusta ja niiden merkitys on ennen kaikkea siinä, että ne auttavat matemaatikkoja ymmärtämään aiempaa paremmin operaattorien ominaisuuksia ja kehittämään niiden tutkimiseen uusia menetelmiä.

Avainsanat: Konveksin kappaleen dominointi, Matriisipaino, Kommutaattori

Linkki väitöskirjan sähköiseen esittelykappaleeseen (esillä 7 päivää ennen väitöstä): Aalto-yliopiston riiputussivu.