Väitös matematiikan ja tilastotieteen alalta, DI Kalle Alaluusua

Väitöskirjan nimi: Consistent estimation of higher-order network models under aggregation

Väittelijä: Kalle Alaluusua 
Vastaväittäjä: apulaisprofessori Jaron Sanders, Eindhoven University of Technology, Alankomaat 
Kustos: professori Lasse Leskelä, Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu 

Moni havaintoaineisto koostuu toimijoiden välillä havaituista yhteyksistä. Esimerkiksi hallituksen lakiesityksiä koskevassa aineistossa voidaan verrata kansanedustajien äänestyskäyttäytymistä ja havainnoida, ketkä osallistuvat samoihin kokouksiin. Aineisto voi kätkeä yhteisöjä, joiden jäsenet toimivat samankaltaisesti, tai pienen koordinoidun joukon, jonka jäsenet ovat yhteydessä toisiinsa poikkeuksellisen usein. 

Yhteydet voidaan esittää verkostona, jossa toimijat ovat solmuja ja suhteet linkkejä. Eri suhdetyyppejä voidaan kuvata monitasoverkoston tasoina. Ryhmätapahtumia voidaan puolestaan kuvata hyperverkkona, jossa hyperlinkki yhdistää koko osallistujajoukon. Käytännössä aineisto summataan usein samanlaisuusmatriisiksi. Sen alkiot kuvaavat toimijaparien yhtäaikaista esiintyvyyttä tai niiden välisen suhteen voimakkuutta. Matriisimuotoista aineistoa on helppo tallentaa ja käsitellä, mutta summaaminen voi johtaa informaatiohäviöön. 

Kalle Alaluusuan väitöskirjassa tutkitaan, milloin summatun verkostoaineiston sisältämä signaali on riittävän vahva tilastolliseen päättelyyn. Keskeisiä päättelytehtäviä ovat yhteisörakenteen tunnistaminen sekä piilevien klikkien havaitseminen ja niiden jäsenten tunnistaminen. Klikillä tarkoitetaan osajoukkoa, jonka kaikki jäsenet ovat keskenään yhteydessä. 

Tulokset osoittavat, että yhteisöjä erottava signaali summautuu verkostotasojen yli. Tämän seurauksena semidefiniittiseen optimointiin perustuva algoritmi voi tunnistaa yhteisöjaon summatusta samanlaisuusmatriisista täsmälleen, vaikka kukin yksittäinen taso erottelisi yhteisöjä vain heikosti. 

Väitöskirjassa tarkastellaan lisäksi janaryvästystehtävää, jossa tason pisteitä poimitaan kahden suoran leikkauspisteen ympäristöstä. Lähes samalla suoralla sijaitsevista pistekolmikoista muodostetaan hyperlinkkejä, ja pisteet ryhmitellään samanlaisuusmatriisin ominaisarvohajotelman avulla. Työssä johdetaan välttämättömiä sekä täsmälliseen tunnistamiseen riittäviä ehtoja. 

Lopuksi väitöskirjassa johdetaan ehdot, joiden täyttyessä piilevä hyperklikki voidaan havaita summatusta samanlaisuusmatriisista ja sen jäsenet tunnistaa täsmälleen. Kokonaisuutena tulokset täsmentävät, missä olosuhteissa matriisipohjaiset menetelmät tuottavat summatusta aineistosta tarkentuvia estimaatteja. Ne antavat teoreettisia perusteita samanlaisuusmatriisien käyttöön korkeamman kertaluvun verkostojen ja pistepilviaineistojen analyysissä.

Avainsanat: Yhteisön tunnistus, hyperverkot, satunnaisverkot

Linkki väitöskirjan sähköiseen esittelykappaleeseen (esillä 7 päivää ennen väitöstä): Aalto-yliopiston riiputussivu.