Väitös matematiikan ja tilastotieteen alalta, FM Antti Autio

Väitöskirjan nimi: Approximate solution of a parametric diffusion equation for electrical impedance tomography

Väittelijä: Antti Autio
Vastaväittäjä: Docent Tomas Vejchodsky, Czech Academy of Sciences, Tšekki
Kustos: Associate Professor Antti Hannukainen, Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu 

Impedanssitomografia on mittaustekniikka, jossa jonkin kappaleen sisäinen sähkönjohtavuusjakauma halutaan saada selville kappaleen reunoilta tehtävillä elektrodimittauksilla. Näissä mittauksissa kappaleeseen syötetään ulkoapäin sähkövirtaa ja syntynyt reunajännite mitataan. Menetelmällä on sovelluksia sekä lääketieteessä että teollisuudessa. Kappaleen sisäisen johtavuusjakauman päättely syötettyjen virtojen ja mitattujen jännitteiden perusteella on haastava matemaattinen käänteisongelma, joka vaatii sähkökentän tarkkaa mallintamista kappaleessa.

Sähköistä potentiaalia mallinnetaan tässä työssä niin sanotulla parametrisellä diffuusioyhtälöllä, jossa parametri kuvaa kappaleen sisäistä johtavuusjakaumaa. Yllä mainittu käänteisongelma voidaan ratkaista iteratiivisesti. Tällöin sähkökenttää mallinnetaan eri johtavuusparametrin arvoilla, kunnes saavutaan arvoon, joka vastaa mittaustuloksia tarpeeksi tarkasti. Väitöskirja keskittyy pääasiassa tämän vaiheen nopeuttamiseen ja laskennan keventämiseen. Diffuusioyhtälö ratkaistaan tietokoneella numeerisesti elementtimenetelmällä. Työssäni tutkin niin sanottuja redusoidun kannan menetelmiä, joissa ratkaisuja etsitään vain tietystä aliavaruudesta, eli vain tietynlaisten ratkaisumahdollisuuksien joukosta. Tämä toimii sen vuoksi, että yhtälön ratkaisuissa eli potentiaalikentissä on paljon yhteistä rakennetta eri parametreilla. Se rajaa mahdollisten ratkaisujen muotoa, ja tätä voidaan hyödyntää.

Väitöskirjassani esitetään uusi menetelmä redusoidun kannan luomiseen. Lisäksi siinä tutkitaan teoreettisesti ratkaisujen rakennetta yksinkertaisessa geometriassa näiden menetelmien tehokkuuden ymmärtämiseksi. Sovellan myös redusoidun kannan menetelmiä impedanssitomografiassa simuloitua dataa käyttäen. Osoittautuu, että mallinnusta voidaan nopeuttaa merkittävästi laadun juurikaan kärsimättä. Viimeiseksi väitöskirjassani tutkitaan erästä impedanssitomografian likimääräistä linearisoitua mallia, jossa ratkaisu voidaan päätellä mittauksesta suoraan ilman iteraatiota.

Avainsanat: impedanssitomografia, elementtimenetelmä, redusoidun kannan menetelmä

Linkki väitöskirjan sähköiseen esittelykappaleeseen (esillä 10 päivää ennen väitöstä): Aaltodoc