Väitös matematiikan ja tilastotieteen alalta, DI Timo Takala

Väitöskirjan nimi: Nonlocal function spaces and conformal deformations of metric measure spaces

Väittelijä: Timo Takala
Vastaväittäjä: Associate Professor Matthew Badger, University of Connecticut, Yhdysvallat
Kustos: professori Riikka Korte, Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu

Funktioiden heilunta, eli niiden arvojen vaihtelu, on mielenkiintoinen ja hyödyllinen matemaattinen ominaisuus. Erityisesti rajoitetun keskiheilunnan funktioiden avaruus (BMO) on tärkeä mm. harmonisessa analyysissa ja osittaisdifferentiaaliyhtälöiden tutkimuksessa. John-Nirenberg-avaruus (JNp) on eräänlainen BMO:n yleistys, jonka alkioiden heilunta on myöskin tietyllä tavalla rajoitettua. JNp ja BMO esiintyivät kirjallisuudessa ensimmäisen kerran jo 1960-luvulla, mutta kiinnostus JNp-avaruuden tutkimusta kohtaan on lisääntynyt vasta viime aikoina. Väitöskirjassani tutkitaan JNp-avaruuden ominaisuuksia.

JNp ja BMO ovat esimerkkejä epälokaaleista funktioavaruuksista. Kolmas epälokaali funktioavaruus, jota väitöskirjassani tutkitaan, on Besov-avaruus. Osittaisdifferentiaaliyhtälöihin liittyvissä reuna-arvo-ongelmissa etsitään ratkaisua, joka saa tietyt arvot alueen reunalla. Jos ratkaisu on Sobolev-funktio alueen sisällä, niin tällöin oikea avaruus reuna-arvoille on vastaava Besov-avaruus, jota kutsutaan myös nimellä fraktionaalinen Sobolev-avaruus. Siten Besov-avaruus on olennainen reuna-arvo-ongelmien tutkimuksessa. Osittaisdifferentiaaliyhtälöitä voidaan tutkia euklidisten avaruuksien lisäksi myös varsin yleisissä metrisissä mitta-avaruuksissa, joissa pisteiden välille on määritelty etäisyys, mutta esimerkiksi suunnan käsitettä ei ole olemassa.

Pallotukset ja litistykset (engl. sphericalization ja flattening) ovat esimerkkejä metrisen mitta-avaruuden konformisista muunnoksista. Pallotukset muuttavat rajoittamattoman avaruuden rajoitetuksi, ja litistykset muuttavat rajoitetun avaruuden rajoittamattomaksi. Näistä muunnoksista on hyötyä osittaisdifferentiaaliyhtälöiden tutkimuksessa, koska jotkin ratkaisumenetelmät toimivat rajoitetussa avaruudessa, mutta eivät rajoittamattomassa avaruudessa. Vastaavasti jotkin menetelmät toimivat rajoittamattomassa avaruudessa, mutta eivät rajoitetussa avaruudessa.

Väitöskirjassani tutkitaan Besov-funktioiden säilymistä näissä muunnoksissa, jotta muunnoksia voidaan soveltaa reuna-arvo-ongelmien tutkimuksessa. Väitöskirjassani on myös pyritty esittämään mahdollisimman yleiset ehdot pallotuksille, jotka säilyttävät muita tärkeitä metrisen mitta-avaruuden geometrisia ominaisuuksia, jotka mahdollistavat esim. harmonisen analyysin ja osittaisdifferentiaaliyhtälöiden tutkimuksen tekniikoita. Aiemmin eri sovelluksia varten on kehitetty erilaisia pallotuksia. Tuloksemme pyrkivät tarjoamaan yhtenäisen teorian näihin eri tilanteisiin.

Avainsanat: John-Nirenberg-avaruus, rajoitettu keskiheilunta, metrinen mitta-avaruus, Besov-avaruus, pallotus, litistys

Lisätietoja: timo.i.takala@aalto.fi 

Linkki väitöskirjan sähköiseen esittelykappaleeseen (esillä 10 päivää ennen väitöstä): Aaltodoc