Väitös matematiikan alalta, M.Sc. Muhammad Ardiyansyah

Väitöskirjan nimi: Algebraic Aspects of Hidden Variable Models

Tohtoriopiskelija: Muhammad Ardiyansyah
Vastaväittäjä: Prof. Marta Casanellas Rius, Universitat Politècnica de Catalunya, Espanja
Kustos: apulaisprofessori Kaie Kubjas, Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu, matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Linkki väitöskirjan sähköiseen esittelykappaleeseen (esillä 10 päivää ennen väitöstä): 
https://aaltodoc.aalto.fi/doc_public/eonly/riiputus/

Tilastollinen Mallinnus Piilotetuilla Muuttujilla 

Tilastollisia malleja on käytetty varsin monimutkaisten todellisten ilmiöiden tutkimiseen. Jos haluamme rakentaa kohtuullisen mukavia tilastollisia malleja, jotka voisivat selittää näiden todellisten ilmiöiden monimutkaiset piirteet, meidän on usein kerättävä suuri määrä tietoa ja tämä prosessi voi olla aikaa vievä, kallis tai yksinkertaisesti mahdoton toteuttaa. Voimme voittaa nämä rajoitukset sisällyttämällä malleihimme piilotettuja satunnaismuuttujia, jotka vastaavat mittaamattomia muuttujia. Tässä opinnäytetyössä keskitymme kahteen tärkeään esimerkkiin piilomuuttujamalleista: fylogeneettiseen malliin ja tekijäanalyysimalliin. 

Fylogenetiikka on biologian ala, joka tutkii biologisten kokonaisuuksien välisiä evoluutiosuhteita. Biologisista tiedoista, kuten DNA-sekvensseistä, voimme poimia hyödyllistä tietoa, jonka avulla voidaan päätellä evoluutiosuhteita, jotka esitetään verkostoina. Fylogeneettisten mallien piilomuuttujat vastaavat esi-isiä, joiden DNA-näytteitä ei voida mitata. 

Fylogenetiikassa keskitymme tutkimuksessamme upotus- ja verkon erottuvuusongelmiin. Karkeasti sanottuna upotusongelma kysyy, kuinka rajoittavaa on mallintaa evoluutioprosesseja, jotka pitävät aikaa jatkuvana muuttujana ja olettavat, että korvaustapahtumat tapahtuvat aina samalla nopeudella. Toisaalta verkon erottuvuusongelmien tutkimisen tavoitteena on erottaa kahdesta fylogeneettisesta verkkomallista syntyvä todennäköisyysjakaumien joukko. 

Upotusongelmaa varten tarjoamme joihinkin fylogeneettisiin malleihin kuuluvien Markov-matriisien upottavuuskriteerit, jotka sisältävät yleisimmät kirjallisuudessa tutkitut mallit. Näiden tulosten avulla voimme arvioida, kuinka suuri upotettavien Markov-matriisien joukko on mallien Markov-matriisien joukossa. Lisäksi tarjoamme joitain ehtoja, joilla voimme erottaa tietyt fylogeneettiset verkkomallit. 

Tekijäanalyysimallit pyrkivät vähentämään havainnoitavien muuttujien määrää, joka on usein melko suuri, sillä taustalla olevia piilotekijöitä on vähemmän ja joiden uskotaan selittävän paremmin havaittavien muuttujien välistä kovarianssia. Pudottamalla klassisen tekijäanalyysimallin Gaussianity-oletuksen, otamme käyttöön korkeamman kertaluvun tekijäanalyysimallin, joka ottaa huomioon korkeamman kertaluvun momentin tai kumulatiiviset tensorit. Lisäksi laskemme tämän mallin ulottuvuuden, jota voidaan käyttää mallin monimutkaisuuden mittaamiseen.

Yhteystiedot:

Perustieteiden korkeakoulun väitöskirjat: https://aaltodoc.aalto.fi/handle/123456789/52