Väitös matematiikan alalta, MSc Milo Orlich

Väitös käsittelee abstraktia algebraa ja sen sisällä monomiaalisia ideaaleja. Tutkimuksen kohteena olevat keskeiset algebralliset objektit ovat polynomeja. Polynomit voidaan rakentaa summaamalla monomeja ja monomit ovat puolestaan muuttujien tuloja. Monomiaalinen ideaali on joukko polynomeja, jotka voidaan saavuttaa aloittamalla kiinnitetystä joukosta monomeja. Keskeinen idea monomiaalisten ideaalien tutkimisessa on liittää kombinatorisia objekteja, kuten solmuista ja kaarista koostuvia verkkoja ideaaleihin. Tällaisiin äärellisiin verkkoihin voidaan käyttää laskemiseen perustuvia argumentteja ja useat monomiaalisten ideaalien algebralliset ominaisuudet näyttäytyvät myös näitä vastaavissa verkoissa. Vastaavasti tarkastelun voi aloittaa myös verkoista ja ratkaista verkkoteoreettisia ongelmia tutkimalla niitä vastaavia monomiaalisia ideaaleja algebran avulla.

Osa alan käsitteistä otettiin käyttöön jo 1970- ja 1990-luvulla. Monet perustavanlaatuiset kysymykset ovat kuitenkin vielä avoimia. Verkkoja voidaan ymmärtää, ja niitä voidaan erottaa toisistaan liittämällä verkkoihin lukuja, kuten solmujen määrä tai yhtenäisten komponenttien määrä. Betti luvut on eräs erityisen kiinnostava ääretön perhe lukuja, mikä voidaan liittää verkkoon. On olemassa algoritmeja, joilla voidaan laskea kaikki verkon Betti luvut, mutta etukäteen on vaikea ennustaa, mitä ne tulisivat olemaan. Eräs keskeinen avoin ongelma on etsiä suljettuja esityksiä Betti luvuille raskaiden algoritmien sijaan. Väitöksen keskeiset tulokset ovat viitteitä tähän suuntaan.  

Väitöskirjan ensimmäisessä artikkelissa lasketaan tällainen suljettu muoto tietyille verkoille. Toisessa artikkelissa tämä yleistetään isommalle joukolle monomiaalia ideaaleja. Kolmannessa artikkelissa esitetään kriittisten verkkojen avulla uusi lähestymistapa, jolla voi rajata Betti lukuja asymptoottisesti.

Vastaväittäjä on tohtori Emil Sköldberg, National University of Ireland, Irlanti

Kustos on professori Alexander Engström, Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu, matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Väittelijän yhteystiedot: [email protected]

Väitöstilaisuus järjestetään kampuksella ja etäyhteydellä Zoomissa. Linkki tilaisuuteen

Väitöskirja on julkisesti nähtävillä 10 päivää ennen väitöstä Aalto-yliopiston julkaisuarkiston verkkoriiputussivulla.

Elektroninen väitöskirja