Väitös matematiikan alalta, M.Sc. Julian Weigt

Vastaväittäjä: tohtori Emanuel Carneiro, ICTP, Italia
Kustos: professori Juha Kinnunen, Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu, matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Väitöstilaisuus järjestetään kampuksella (Otakaari 1, sali U147 U5).

Väitöskirja on julkisesti nähtävillä 10 päivää ennen väitöstä Aalto-yliopiston julkaisuarkiston verkkoriiputussivulla.
Elektroninen väitöskirja löytyy täältä: https://aaltodoc.aalto.fi/handle/123456789/117016

Väitöstiedote:

Väitöskirjan nimi: Endpoint regularity of maximal functions in higher dimensions

Funktion variaatio on suure, joka mittaa funktion värähtelyn voimakkuutta. Se on yksi monista tavoista kuvata funktion säännöllisyyttä tai sitä, kuinka sileä ja hyvin käyttäytyvä funktio on. Funktioiden säännöllisyyden tutkiminen on yksi osittaisdifferentiaaliyhtälöiden alan päätavoitteista. Lähes kaikki fysikaaliset systeemit pystytään mallintamaan differentiaaliyhtälöiden avulla, ja myös muiden alojen, kuten kemian, biologian tai taloustieteen, suureet toteuttavat differentiaaliyhtälöitä. Siksi olemme kiinnostuneita funktioiden säännöllisyydestä, voi olla tärkeää tietää, voivatko hiukkasen liikerata, tietyt ainepitoisuudet tai markkina-indikaattorit käyttäytyä epäsäännöllisesti vai noudattaa aina tasaista käyrää.

Tässä väitöskirjassa tutkimme niin kutsuttujen maksimaalifunktioiden tietyntyyppistä säännöllisyyttä: Osoitamme, että joillakin maksimaalifunktioilla on rajoitettu variaatio. Maksimaalifunktiot ovat perinteisesti käytettyjä työkaluja osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ja niihin liittyvien matemaattisten alojen tutkimuksessa. Maksimaalifunktio määritellään käyttämällä funktion keskiarvojen maksimia. Keskiarvo on tietysti erittäin tärkeä matemaattinen käsite, ja siksi se on tärkeässä asemassa paitsi osittaisdifferentiaaliyhtälöissä myös monilla muilla matematiikan aloilla. Tästä syystä maksimaalifunktiota käytetään usein funktioiden arvioimiseen matemaattisessa analyysissa.

Maksimaalifunktion säännöllisyyttä on nyt tutkittu noin kaksikymmentäviisi vuotta. On osoitettu, että maksimaalifunktioilla yksiulotteisessa avaruudessa on rajoitettu variaatio ja että ne toteuttavat useita säännöllisyyden käsitteitä kaikissa ulottuvuuksissa. Tämä väitöskirja todistaa luonnollisen konjektuurin, että myös maksimaalifunktioilla korkeammissa ulottuvuuksissa on rajoitettu variaatio, ainakin joidenkin maksimaalifunktioiden kohdalla, ja avaa kentän tutkia tätä konjektuuria muiden klassisten maksimaalifunktioiden osalta.

Väittelijän yhteystiedot: [email protected], +358504754400